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第一数学归纳法可以概括为以下三步：
(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；
(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；
(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
扩展资料：
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可。
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
参考资料：
数学归纳法可分为第一数学归纳法和第二数学归纳法
第一数学归纳法是:
(1)证明n=1时成立
(2)假设n=k时成立,证明n=k+1时成立
第二数学归纳法是:
(1)证明n=1,2,……,m时命题成立
(2)假设n<=k(k>=m)时成立，证明n=k+1时成立
可以这样分析：因为n=1,2,……,m时成立，即n<=m时命题成立，可令k=m,则根据归纳假设（2)有n=k+1=m+1时成立，那么就有n<=m+1时成立，此时k=m+1,再根据假设(2)有n=k+1=m+2时也成立，……，如此不断推导下去，就有命题对n∈N都成立。
所谓二重数学归纳法就是此时m=2的情形，比如证明一个数列通项公式an=f(n)（猜想得来的），利用递归式a(n+2)=pa(n+1)+qan,p、q为常数，此时用二重数学归纳法
先证n=1,2时a1=f(1),a2=f(2)
再假设n<=k(k>=2时成立，证明n=k+1时成立，这时利用了n=k和n=k-1时命题也成立的假设来证明即a(k+1)=pak+qa(k-1)=pf(k)+qf(k-1)=f(k+1).
此外，数学归纳法还有许多变形，如反向数学归纳法等
PEANO公理（也叫自然数公理）的一条公设就是归纳法公设，其是数学归纳法的理论依据，即某自然数的子集P包含1,还包含所有数的后继数，则集合P就是自然数集N。
限于篇幅，不再赘述。
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