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选定晶体的坐标系统后，晶体上各种几何要素在空间的相对位置便可根据它们与晶轴的关系予以确定。这种关系通常以数学符号（数字或字母）来表征，称为晶体的结晶学符号或晶体符号。
晶面符号（face symbol）就是根据晶面（或晶体中平行于晶面的其他平面）与各结晶轴的交截关系，用简单的数学符号形式来表达它们空间方位的一种结晶学符号。
晶面符号有多种形式，通常采用英国人米勒（W.H.Miller）于1839年所创的米氏符号。
1.三轴坐标系中晶面符号的构成
对于采用三轴坐标系（等轴晶系、四方晶系、低级晶族各晶系）的晶体，其晶面的米氏符号（Miller’s symbol）由连写在一起的3个互质的小整数（有时也需用字母）加小括号构成，其一般形式为（hkl）。其中的hkl称为晶面指数（face indices），它通过晶面在3个晶轴上截距系数的倒数比来求取，并按照晶面与X，Y，Z轴的关系顺序排列。
现举例说明如下。设有一个晶面（hkl）在X，Y，Z轴上的截距分别为2a0、3b0、6c0（图5-4）。2，3，6为其截距系数，其倒数比为1/2：1/3：1/6=3：2：1，去掉比例符号，以小括号括之，写作（321），即为该晶面的米氏符号。
若晶面平行于某晶轴，则晶面在晶轴上的截距系数为∞，截距系数的倒数应为0（1/∞）。如图5-5中（100）晶面与Y轴和Z轴平行；（001）晶面与X轴和Y轴平行；（110）晶面与X轴和Y轴等截距相交，与Z轴平行；（11-0）晶面与Z轴平行，与X轴和Y轴等截距相交，但晶面交于Y轴的负端，则在该相应的指数上加“-”号。
图5-4 晶面符号的图解
图5-5 晶体的晶面符号举例
图5-6 三方、六方晶系晶面符号中前三位指数代数和为零图解
（据潘兆橹等，1993）
2.四轴坐标系中晶面符号的构成
由于三方和六方晶系的晶体采用四轴坐标系定向，因此它们的晶面符号也要用四个指数表示，其米氏符号一般写为（ ）的形式。指数的排列顺序依次与X、Y、U和Z轴对应。由晶体常数（a=b≠c）可知，三方和六方晶系的水平轴轴单位相等，故轴率总是1：1：1：C。其中第三个晶面指数表示在U轴上的截距系数的比值，根据三角函数的几何关系，可以证明前面三个指数代数和等于零h+k+i=0。因此，第三个指数是可以通过前两个计算得出的。
现证明h+k+i=0如下。如图5-6，设有一晶面MM′在X轴上的截距为P1，在Y轴上的截距为P2，在U轴上的截距为P3。做一平行于U轴的辅助线KM′，△OKM′为等边三角形，每边皆等于P2。由于△MKM′与△MOE相似，因此（P1+P2）/P2=P1/P3；再以P1除等式两边得：（P1+P2）/P1P2=P1/P1P3，即1/P2+1/P1=1/P3。因为米氏指数为截距系数的倒数，故h+k+ =0。
3.晶面符号的含义和规律
在晶面符号的实际应用中，更多情况下主要目的不是测算晶面符号，而是理解它的含义，想象出它在晶体上的空间方位。为此，弄清楚晶面符号一些特殊指数的含义及各指数间的相互关系的特点是很有意义的。晶面符号具有以下规律和特点：
1）晶面符号中指数为0时，表明该晶面与相应的结晶轴平行：h=0，晶面平行于X轴；k=0，晶面平行于Y轴；l=0，则晶面平行于Z轴。
2）因晶面指数是从截距系数的倒数比获得的，故当轴单位相等时，晶面指数越大，在晶轴上的截距越小。如等轴晶系晶体的（210）晶面，它在X轴上的截距小于其在Y轴上的截距，且Y轴截距是X轴截距的2倍，晶面与Z轴平行。
3）在同一晶体上，如有两个晶面对应的晶面指数正负相反、绝对值相等，这两个晶面必互相平行。如（100）与（ ）、（110）与（ ）分别代表一对相互平行的晶面。
以上晶面符号的含义和规律不仅对三轴坐标系适用，对于四轴坐标系也适用。
4.整数定律
从前述晶面符号可以看出，晶面的指数都是数值很小的整数，即符合整数定律。整数定律也称有理指数定律，其内容可表述为：晶体上任一晶面在结晶轴上的截距为轴单位的整数倍；而晶面指数为简单的（即绝对值很小的）整数。简单说明如下。
由于晶面是一个面网，晶轴是一条行列，因此，晶面或晶面平移后必截晶轴于某个结点。如以晶轴上的结点间距作为度量单位（即轴单位），则晶面在晶轴上的截距系数之比必为整数比。
图5-7表示平行于Z轴且截X轴于a1点的一组面网，它们分别截Y轴于b1，b2，b3点。从面网密度来看，a1b1＞a1b2＞a1b3，它们在X和Y轴上的截距系数之比分别是a1：b1=1：1，a1：b2=1：2，a1：b3=1：3，其相应的晶面指数分别为（110），（210），（310）。显然，面网密度越大，晶面在晶轴上的截距系数之比越简单。
图5-7 整数定律图解
从布拉维法则可知，晶面常常被面网密度较大的晶面所包围。因此，晶面在晶轴上的截距系数之比为简单整数比。
1.晶带及其符号
晶带（zone）是交棱相互平行的一组晶面的组合。一个晶带中的晶面既可能在晶体上实际相交，也可能延展后才相交。换句话说，一个晶带的各个晶面既可彼此连接成封闭的环带，也可被其他晶面所分割。晶带的方向用通过晶体中心而平行于各晶面公共交棱的直线来表示，这条直线称为晶带轴（zone axis）。晶带轴的符号就是晶面交棱的符号，通常用以表示晶带符号。
图5-9中，晶面（ ）、（100）、（110）、（010）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）（后四个晶面在晶体后面，晶体图上没绘出）组成一个晶带，该晶带的晶带轴为CC′，其晶带轴符号为［001］；此晶带上的所有晶面的赤平投影点落于同一大圆上，即投影点落在基圆上。同理，晶面（100）、（101）、（001）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）等又组成晶带轴为BB′的［010］晶带。此外还可以找到晶带轴为AA′的［100］晶带，晶带轴为DD′的［ ］晶带等。
图5-9 晶体的晶带（a）及其极射赤平投影（b）
（据潘兆橹等，1993）
晶带符号除了用求晶棱符号的方法获取外，还可以直接利用垂直于晶带轴的晶面符号的转换（其理论基础见下述）获得，即用方括号加在该晶面的晶面指数之外获得。如果晶带轴垂直于两个平行的晶面，则选择正值最多的晶面指数即可。例如，图5-9 中晶带轴 CC′与（001）和（ ）两个晶面垂直，选（001）晶面的晶面指数进行变换后得到该晶带的符号为［001］。
2.晶带定律
实际晶体的晶面都是按晶带分布的。这是因为晶体上的晶面都是由面网密度较大的面网所组成的，其交棱也应是结点间距较小的行列，故实际晶面和晶棱的方向都为数不多，从而分属于少数晶带。
关于晶面与晶棱的关系，早在19世纪初，德国结晶学家魏斯（Weiss）便指出：晶体上任一晶面至少属于两个晶带，这一规律称为晶带定律（zone law）。由图5-9可以看出，每一个晶面与其他晶面相交，必有两个以上互不平行的晶棱，也就是一个晶面可以属于多个晶带，如晶面（100）至少属于［001］和［010］晶带（还有可能的其他晶带，未绘出）。因此，晶带定律也可以这样表述：任意两晶棱（晶带）相交必可决定一可能晶面，而任意两晶面相交必可决定一可能晶棱（晶带）。
此外，晶带定律还可以晶带方程表述，即：对任一属于［rst］晶带的晶面（hkl），必有
hr+ks+lt=0
根据晶带定律和晶带方程，可以由若干已知晶面或晶带推导出晶体上一切可能晶面的位置或已知晶面所属的晶带，这在晶体定向、投影和运算中得到了广泛的应用。
3.晶带方程应用举例
根据晶带方程hr+ks+lt=0，可以做如下的运算和推导。
（1）求晶面（hkl）和晶面（mnp）所决定的晶棱［rst］
因为：hr+ks+lt=0，mr+ns+pt=0
则：r：s：t=（kp-nl）：（lm-ph）：（hn-mk）
上式右方可用行列式表示：
结晶学与矿物学
此式易于记忆，即将每一晶面的指数依次写两次，将两晶面的指数写成上下两横列。用竖线隔开并删去左右两纵行，然后交叉相乘并依次取其乘积之差。现举例说明如下。
举例 求晶面（100）和晶面（010）所决定的晶带。
结晶学与矿物学
r=0×0-1×0=0，s=0×0-0×1=0，t=1×1-0×0=1
即此晶带的符号应为［001］。
（2）求位于晶带［rst］和晶带［uvw］相交处的晶面（hkl）
因为：hr+ks+lt=0，hu+kv+lw=0
则与例（1）类比，可用下列行列式计算：
结晶学与矿物学
举例 求位于［010］和［001］两晶带相交处的晶面的晶面符号（hkl）。
结晶学与矿物学
h=1×1-0×0=1，k=0×0-1×0=0，l=0×0-0×1=0
即该晶面的符号为（100）。
（3）已知晶面（hkl）和（mnp）在同一晶带上，求位于此晶带上介于此两晶面之间的另一晶面的符号
因为：hr+ks+lt=0，mr+ns+pt=0
则：（h+m）r+（k+n）s+（l+p）t=0
即此晶带上介于（hkl）和（mnp）晶面间的另一晶面的指数为h+m、k+n和l+p。
举例：已知晶面（100）和（010）位于一晶带上，则在此晶带上介于此二晶面之间的另一晶面的指数应为（1+0）、（0+1）、（0+0）即（110）。
上述三例的赤平投影参见图5-9。
思考题与习题
1）试述晶体定向的意义。
2）试述晶体定向的原则，各晶系晶体定向的方法及晶体常数特点。
3）晶面符号能表明晶面在晶体坐标系中的具体空间位置吗？
4）晶胞参数与晶体常数的区别和意义是什么？
5）同一晶带的晶面，在极射赤平投影图中怎样分布？试举例说明。
6）某矿物属于斜方晶系，具有（100），（110），（010），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（001），（ ），（011），（ ），（ ）和（ ）等晶面，其中哪些属于［001］晶带？哪些属于［010］晶带？哪些晶面为［001］与［010］两晶带所共有？
7）如何判定下列晶面与晶面、晶面与晶棱、晶棱与晶棱之间的空间关系（平行、垂直或斜交）：
①等轴晶系、四方晶系及斜方晶系晶体：（001）与［001］；（010）与［010］；（110）与［001］；（110）与（010）。
②单斜晶系晶体：（001）与［001］；（010）与［001］；（001）与［100］；（100）与［010］。
③三、六方晶系晶体：（ ）与［0001］；（ ）与［ ］；（ ）与［ ］；（0001）与［ ］。
8）何谓晶面的米氏符号？某一晶面与X，Y，Z轴上的截距系数分别为2，2，4，请写出此晶面的米氏符号。
9）在等轴晶系的晶体上，某一晶面与X，Y，Z轴上的截距分别为2.5mm，5mm，∞，试写出此晶面的米氏符号。
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